Ich fasse mal zusammen:
Auf der sicheren Seite ist man, wenn man eine Vollmacht sowie eine Kopie des Ausweises des jeweils anderen Elternteils und eine Kopie der Geburtsurkunde des Kindes / der Kinder (und natürlich seine eigenen Ausweise und die der Kinder) dabei hat.
Je nach Reiseziel erscheint die Einholung weiterer Auskünfte bei fachlich versierten Leuten angeraten.
Damit ist die Frage des Themenstarters beantwortet und wir können uns Diskussionen über die Auslegung des Rechts ersparen. Das Thema Minderjährige füllt laufende Meter juristischer Fachbibliotheken.
Deshalb mache ich hier mal zu.